Existência e unicidade

Exercícios

O primeiro exercício constrói uma solução conhecida do zero — é o melhor jeito de sentir o mecanismo de Picard.

1. básicoiteração de Picardno espírito de Braun §1.10

   Aplique a iteração de Picard a $y' = y$ com $y(0) = 1$. Calcule $y_1$, $y_2$ e $y_3$, e reconheça o padrão.

   Dica

   Comece com $y_0(t) = 1$ e integre repetidamente. Os resultados vão parecer familiares.

   Resolução

   Com $f(t,y) = y$, $t_0 = 0$ e $y_0 = 1$:

   $$y_1(t) = 1 + \int_0^t 1\,ds = 1 + t$$$$y_2(t) = 1 + \int_0^t (1 + s)\,ds = 1 + t + \frac{t^2}{2}$$$$y_3(t) = 1 + \int_0^t \left(1 + s + \frac{s^2}{2}\right) ds = 1 + t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6}$$

   O padrão. $y_n(t) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{t^k}{k!}$, que é a soma parcial da série de Taylor de $\exp(t)$. E de fato a solução de $y' = y$, $y(0) = 1$ é $y = \exp(t)$.

   A iteração de Picard construiu a exponencial a partir do nada — sem que precisássemos saber de antemão que a resposta era $\exp(t)$. É esse o sentido de “provar existência sem exibir a solução”: o limite existe, e depois se reconhece quem ele é.

2. intermediárioverificar hipótesesno espírito de Braun §1.10

   Para quais pontos iniciais $(t_0, y_0)$ o teorema garante solução única de $y' = \sqrt{y}$?

   Dica

   Calcule $\partial f/\partial y$ e veja onde ela deixa de ser contínua.

   Resolução

   Aqui $f(t,y) = y^{1/2}$, definida para $y \geq 0$, e

   $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{2\sqrt{y}},$$

   que é contínua para $y > 0$ e explode quando $y \to 0^+$.

   Conclusão. O teorema garante existência e unicidade para todo $(t_0, y_0)$ com $y_0 > 0$. Para $y_0 = 0$ ele nada diz — e não é preciosismo: em $y(0) = 0$ a unicidade realmente falha, com $y \equiv 0$ e $y = t^2/4$ ambas resolvendo (para $t \geq 0$).

   Note a ausência de qualquer condição sobre $t_0$: a equação é autônoma, e nada no enunciado depende de $t$.

3. avançadoo teorema é localno espírito de Braun §1.10

   Para $y' = y^2$ com $y(0) = 1$, as hipóteses do teorema valem em todo o plano. Ainda assim a solução existe apenas em $(-\infty, 1)$.

   Isso contradiz o teorema? Explique, e diga o que se pode e o que não se pode concluir da hipótese valer em todo o plano.

   Dica

   Releia com atenção o que exatamente o enunciado promete.

   Resolução

   Não há contradição. O teorema afirma que existe um intervalo em torno de $t_0$ com solução única. Ele não afirma qual, nem que seja todo o domínio onde as hipóteses valem.

   Aqui $f(t,y) = y^2$ e $\partial f/\partial y = 2y$ são contínuas em todo o plano, e a solução $y = 1/(1-t)$ é de fato única em torno de $t = 0$ — o que o teorema prometeu. Que ela deixe de existir em $t = 1$ é uma propriedade da solução, não uma falha das hipóteses.

   O que se pode concluir. Por cada ponto do plano passa exatamente uma curva solução, e curvas solução distintas nunca se cruzam. Essa é a conclusão global útil, e é a que sustenta o argumento de “nenhuma solução atravessa a reta $y = K$” na equação logística.

   O que não se pode concluir. Que a solução exista para todo $t$. Extensão global é um teorema diferente, e exige hipóteses adicionais — crescimento no máximo linear em $y$, por exemplo. É exatamente esse crescimento que $y^2$ viola.

   Por que isso importa em computação. Um integrador numérico aplicado a este problema além de $t = 1$ produzirá números — grandes, mas números. Sem o teorema, não haveria como distinguir “a solução cresce rápido” de “a solução deixou de existir”.