4. Sistemas autônomos e teoria qualitativa
Como descrever o comportamento das soluções sem resolvê-las — e os modelos que motivam a teoria.
Sistemas autônomos em R2. Retrato de fase. Pontos críticos. Órbitas periódicas. Teorema de Poincaré-Bendixon (enunciado). Estudo de modelos tais como competição entre duas espécies, predador-presa, desenvolvimento de epidemias.
Fonte principalDifferential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics — Capítulo 4 (§4.1–4.13)
Tópicos
- Estabilidade de soluções de equilíbriorascunho
O que significa um equilíbrio ser estável, e como decidir isso sem resolver o sistema.
Braun §4.1, §4.2, §4.3
- O plano de faserascunho
Trocar o gráfico da solução no tempo pela trajetória no plano — e o que se ganha com isso.
Braun §4.4
- Propriedades qualitativas das órbitasrascunho
Órbitas periódicas, ciclos limites e o que uma trajetória pode ou não fazer no plano.
Braun §4.6
- O teorema de Poincaré-Bendixsonrascunho
No plano, uma trajetória limitada só tem três destinos possíveis — e o caos não é um deles.
Braun §4.8
- Predador-presarascunho
Por que a proporção de tubarões no Adriático subiu durante a Primeira Guerra — e o que isso ensina sobre inseticidas.
Braun §4.10
- Competição entre duas espéciesrascunho
O princípio da exclusão competitiva — duas espécies não vivem do mesmo jeito no mesmo lugar.
Braun §4.11
- Epidemias e o teorema do limiarrascunho
Por que uma epidemia só acontece se os suscetíveis passarem de um número crítico.
Braun §4.12