Datação radioativa e as falsificações de Van Meegeren

Decaimento exponencial aplicado a um caso real de perícia em obras de arte.

Ordem: 1ª
Tipo: linear
Métodos: lineares 1a ordem, separaveis
Aplicações: datação radioativa, perícia em arte, arqueologia

Antes distoEquações lineares de primeira ordem

Em maio de 1945, Han van Meegeren foi preso em Amsterdã acusado de colaboração com os nazistas: havia vendido a Hermann Göring um Vermeer, patrimônio nacional holandês. Para escapar da acusação de traição, ele confessou um crime menor — o quadro não era um Vermeer. Era dele.

Ninguém acreditou. Van Meegeren pintou outra tela na prisão para provar que sabia, e ainda assim peritos continuaram sustentando que os quadros anteriores eram autênticos do século XVII. A disputa só terminou em 1967, com um argumento que não era de história da arte: era uma equação diferencial de primeira ordem.

Decaimento radioativo

O postulado físico é local, e é simples: cada núcleo tem, por unidade de tempo, a mesma probabilidade de decair, independentemente da idade da amostra. Se há $N(t)$ núcleos, o número de decaimentos por unidade de tempo é proporcional a $N$ .

\frac{dN}{dt} = -\lambda N

N(0) = N_0

Métodoseparaveis

$\frac{dN}{N} = -\lambda\,dt$
A equação é separável, com $g(t) = -\lambda$ e $h(N) = N$ . É também linear homogênea — os dois métodos servem. decaimento
$N \not\equiv 0 \text{ suposto; } N \equiv 0 \text{ tratada à parte}$
Como sempre na separação, o zero de $h$ fica de fora: $N \equiv 0$ é solução (amostra sem núcleo nenhum), e será recuperada ao permitir $N_0 = 0$ no fim.
$\ln N = -\lambda t + C_1$
Integrando os dois lados. Como $N > 0$ fisicamente, o módulo do logaritmo é dispensável aqui.
$N(t) = C\exp(-\lambda t)$
Exponenciando, e escrevendo $C = \exp(C_1) > 0$ .
$\boxed{N(t) = N_0 \exp(-\lambda t)}$
A condição inicial em $t = 0$ : $N(0) = C\exp(0) = C$ .

Meia-vida

Na prática ninguém tabela $\lambda$ ; tabela-se a meia-vida, que é a mesma informação em unidade legível.

Demonstração— Relação entre meia-vida e constante de decaimento

Por definição, $N(T) = N_0/2$ . Usando a solução:

N_0 \exp(-\lambda T) = \frac{N_0}{2} \quad\Longrightarrow\quad \exp(-\lambda T) = \frac{1}{2}.

Tomando logaritmo, $-\lambda T = -\ln 2$ , donde $T = \ln 2 / \lambda$ .

Fim da demonstração.

A figura abaixo é a família $N' = -\lambda N$ . Mexa em $\lambda$ e observe que todas as curvas decaem para zero, mas nenhuma o alcança em tempo finito.

Passe o cursor para ver a solução por um ponto; clique para fixá-la.Toque no gráfico para fixar a solução que passa pelo ponto.

λ0.35

Datação por carbono-14

Exemplo(O relógio do carbono-14)#

Raios cósmicos produzem carbono-14 na atmosfera a uma taxa aproximadamente constante. Enquanto vive, um organismo troca carbono com o ambiente e mantém a mesma razão ${}^{14}\mathrm{C}/{}^{12}\mathrm{C}$ da atmosfera. Quando morre, a troca cessa: o ${}^{12}\mathrm{C}$ permanece e o ${}^{14}\mathrm{C}$ decai, com meia-vida de cerca de $5\,568$ anos.

Medindo a razão atual e comparando com a atmosférica, obtém-se $N/N_0$ , e daí

t = -\frac{1}{\lambda}\ln\!\left(\frac{N}{N_0}\right) = \frac{T}{\ln 2}\,\ln\!\left(\frac{N_0}{N}\right).

O limite do método. Depois de umas dez meias-vidas — perto de $57\,000$ anos — resta menos de $0{,}1\%$ do ${}^{14}\mathrm{C}$ original, e a medida se perde no ruído. Para datar objetos de séculos, e não de milênios, o carbono-14 é inútil: em $300$ anos a razão cai só $3{,}7\%$ , dentro da incerteza. Era esse o problema com os quadros.

Tratado em Braun (1993), §1.3, p. 13.

O caso Van Meegeren

Para quadros, o relógio certo é outro, e ele está na própria tinta. O branco de chumbo, usado por pintores há séculos, é fabricado a partir de minério que contém urânio. Na cadeia de decaimento do urânio aparecem o rádio-226 (meia-vida de $1\,600$ anos) e, logo depois, o chumbo-210 (meia-vida de $22$ anos).

O ponto decisivo é o que a fabricação faz com essa cadeia:

Isso dá o teste. Numa tinta antiga, chumbo-210 e rádio-226 estão em equilíbrio: taxas de decaimento comparáveis. Numa tinta nova, o chumbo-210 ainda está muito acima do equilíbrio.

A equação

Seja $y(t)$ a quantidade de chumbo-210 por grama de branco de chumbo, e $r$ a taxa (praticamente constante, dada a meia-vida de $1\,600$ anos do rádio) com que o rádio-226 o produz.

\frac{dy}{dt} = -\lambda y + r

y(0) = y_0

Métodolineares-1a-ordem

$y' + \lambda y = r$
Agora há produção além do decaimento: a equação deixa de ser homogênea. Escrevendo na forma padrão $y' + p(t)y = q(t)$ , com $p = \lambda$ e $q = r$ constantes.
$\mu(t) = \exp(\lambda t)$
Fator integrante $\mu(t) = \exp\left(\int \lambda\,dt\right) = \exp(\lambda t)$ . fator integrante
$\frac{d}{dt}\Bigl[\exp(\lambda t)\,y\Bigr] = r\exp(\lambda t)$
Multiplicando a equação por $\mu$ , o lado esquerdo vira a derivada de um produto — que é a razão de ser do fator integrante.
$\exp(\lambda t)\,y(t) - y_0 = \frac{r}{\lambda}\Bigl[\exp(\lambda t) - 1\Bigr]$
Integrando de $0$ a $t$ e usando $y(0) = y_0$ .
$\boxed{y(t) = \frac{r}{\lambda} + \left(y_0 - \frac{r}{\lambda}\right)\exp(-\lambda t)}$
Isolando $y$ . Os dois termos têm leituras distintas: o primeiro é o que sobra do chumbo original, o segundo é o equilíbrio com o rádio.

Explore abaixo com $\lambda = \ln 2/22 \approx 0{,}0315$ por ano. Comece com $y_0$ bem alto (tinta nova) e com $y_0$ perto de $r/\lambda$ (tinta antiga), e veja como as duas trajetórias se tornam indistinguíveis depois de umas poucas meias-vidas.

Passe o cursor para ver a solução por um ponto; clique para fixá-la.Toque no gráfico para fixar a solução que passa pelo ponto.

r0.25

O argumento que decidiu a questão

Aqui está a inversão elegante. Não se sabe $y_0$ — ninguém mediu a tinta em 1650. Mas a equação pode ser resolvida para trás, e é isso que se faz.

Isolando $y_0$ na solução com $t$ igual à idade suposta do quadro:

y_0 = \frac{r}{\lambda} + \left(y(t) - \frac{r}{\lambda}\right)\exp(\lambda t).

Mede-se $y(t)$ e $r$ hoje, supõe-se $t \approx 300$ anos (um Vermeer autêntico) e calcula-se qual teria sido $y_0$ .

E o fator $\exp(\lambda t)$ é o que torna a conclusão robusta:

Os quadros eram de Van Meegeren. Os cálculos originais estão em Braun (1993), §1.3, p. 16.

Exercícios

O primeiro fixa a aritmética da meia-vida. O terceiro é o argumento de Van Meegeren em miniatura — se você conseguir montá-lo sozinho, entendeu a seção.

básicomeia-vidano espírito de Braun §1.3
Uma amostra de um isótopo de meia-vida $T = 8$ dias tem hoje $200$ mg. Quanto havia há $24$ dias? E quanto restará daqui a $4$ dias?
Dica
Vinte e quatro dias são exatamente três meias-vidas. Quatro dias são meia meia-vida — use a fórmula, não a intuição.
Resolução
Há 24 dias. Três meias-vidas para trás significam multiplicar por $2$ três vezes:
$N(-24) = 200 \cdot 2^{3} = 1\,600 \text{ mg}.$
Daqui a 4 dias. Aqui não dá para “meter metade da metade” no olho. Com $\lambda = \ln 2/8$ :
$N(4) = 200 \exp\!\left(-\frac{\ln 2}{8}\cdot 4\right) = 200 \cdot 2^{-1/2} = \frac{200}{\sqrt{2}} \approx 141{,}4 \text{ mg}.$
Note que $141{,}4$ não é $150$ — a queda não é linear no tempo, e meia meia-vida não corresponde a um quarto perdido.
intermediáriodatação por carbonono espírito de Braun §1.3
Um fragmento de madeira de um sítio arqueológico apresenta $62\%$ do ${}^{14}\mathrm{C}$ esperado num organismo vivo. Estime a idade da amostra, tomando $T = 5\,568$ anos.
Em seguida: se a medida de $62\%$ tiver incerteza de $\pm 2$ pontos percentuais, qual é a incerteza na idade?
Dica
Para a segunda parte, calcule a idade nos dois extremos, 60% e 64%, e compare.
Resolução
A idade. De $N/N_0 = 0{,}62$ :
$t = \frac{T}{\ln 2}\,\ln\!\left(\frac{1}{0{,}62}\right) = \frac{5\,568}{0{,}6931}\cdot 0{,}4780 \approx 3\,840 \text{ anos}.$
A incerteza. Nos extremos:
$t(0{,}64) = \frac{5\,568}{0{,}6931}\cdot 0{,}4463 \approx 3\,585, \qquad t(0{,}60) = \frac{5\,568}{0{,}6931}\cdot 0{,}5108 \approx 4\,103.$
A faixa é de aproximadamente $3\,585$ a $4\,103$ anos, ou seja, cerca de $\pm 260$ anos — algo como $7\%$ .
A lição. A incerteza relativa na idade é maior que a da medida, e piora à medida que $N/N_0$ diminui: o logaritmo comprime muito perto de $1$ e estica perto de $0$ . É a razão quantitativa do limite prático de $50$ a $60$ mil anos.
avançadoperícia por chumbo-210no espírito de Braun §1.3
Uma tinta apresenta hoje desintegração de chumbo-210 a $8{,}5$ desintegrações por minuto por grama de chumbo, e o rádio-226 presente produz $r = 0{,}8$ desintegrações por minuto por grama.
Tome $\lambda = \ln 2 / 22$ por ano.
(a) Calcule a taxa inicial $y_0$ sob a hipótese de o quadro ter $300$ anos.
(b) Sabendo que minérios reais dificilmente ultrapassam algumas centenas de desintegrações por minuto por grama, o que se conclui?
(c) Refaça (a) supondo $20$ anos e comente.
Dica
Use a fórmula invertida $y_0 = r/\lambda + (y(t) - r/\lambda)\exp(\lambda t)$ . O trabalho todo está em avaliar a exponencial.
Resolução
Primeiro o equilíbrio:
$\frac{r}{\lambda} = \frac{0{,}8}{\ln 2/22} = \frac{0{,}8 \cdot 22}{0{,}6931} \approx 25{,}4.$
Curiosamente, a tinta está abaixo do equilíbrio ( $8{,}5 < 25{,}4$ ), o que inverte o sinal do transiente — mas o método é o mesmo.
(a) Hipótese de 300 anos. Com $\exp(\lambda t) = 2^{300/22} \approx 1{,}21 \times 10^{4}$ :
$y_0 = 25{,}4 + (8{,}5 - 25{,}4)\cdot 1{,}21\times 10^{4} = 25{,}4 - 16{,}9 \cdot 1{,}21 \times 10^{4} \approx -2{,}05 \times 10^{5}.$
(b) A conclusão. O resultado é negativo, e uma taxa de desintegração negativa não existe. A hipótese de $300$ anos não é apenas improvável: é impossível. O quadro não pode ser do século XVII.
Este é o argumento de Van Meegeren na forma mais nítida possível — nem foi preciso invocar limites de concentração em jazidas, porque a hipótese já colide com a positividade.
(c) Hipótese de 20 anos. Agora $\exp(\lambda t) = 2^{20/22} \approx 1{,}88$ :
$y_0 = 25{,}4 + (8{,}5 - 25{,}4)\cdot 1{,}88 \approx 25{,}4 - 31{,}8 \approx -6{,}4.$
Ainda negativo, mas por pouco — e dentro da ordem de grandeza dos erros de medida e da variabilidade de $r$ entre lotes de tinta. Uma idade de poucas décadas é compatível com os dados; três séculos não são, por cinco ordens de grandeza.
O que a comparação ensina. A força do método não está na precisão da datação — ele data mal. Está em que o fator $\exp(\lambda t)$ separa hipóteses distantes por margens enormes. É um teste de discriminação, não um relógio.

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Fontes deste tópico

Martin Braun. Differential Equations and Their Applications: An Introduction to Applied Mathematics, 4ª ed. Springer-Verlag, 1993.
§1.3 · p. 11-20 (PDF: p. 27–36)
O caso Van Meegeren, em que a razão entre chumbo-210 e rádio-226 provou que quadros vendidos como Vermeer eram falsificações do século XX.
fontes/EDO/Differential Equations and The - Braun, Martin_7579.pdf