Difusão de inovações tecnológicas

Exercícios

O terceiro exercício resolve o modelo de Bass do zero. É a mesma técnica da logística, com uma fração parcial a mais — vale fazer com papel.

1. básicocronologia da adoçãono espírito de Braun §1.6

   Uma cooperativa introduz uma técnica nova. No início do acompanhamento, $2\%$ dos produtores a usam, e estima-se $a = 0{,}5$ ao ano.

   (a) Em quanto tempo metade da cooperativa terá adotado?

   (b) E $90\%$?

   (c) Se a estimativa inicial fosse $4\%$ em vez de $2\%$, como as duas respostas mudariam?

   Dica

   Use a forma canônica: $t^\ast$ responde (a) de imediato, e (b) sai de $t^\ast$ mais meio tempo de decolagem.

   Resolução

   (a) Metade é exatamente $t^\ast$:

   $$t^\ast = \frac{1}{0{,}5}\ln\!\left(\frac{0{,}98}{0{,}02}\right) = 2\ln 49 \approx 2 \cdot 3{,}892 \approx 7{,}78 \text{ anos}.$$

   (b) Da demonstração do tempo de decolagem, $p = 0{,}9$ ocorre em $t^\ast + (\ln 9)/a$:

   $$t = 7{,}78 + \frac{2{,}197}{0{,}5} \approx 7{,}78 + 4{,}39 \approx 12{,}2 \text{ anos}.$$

   (c) Com $p_0 = 0{,}04$:

   $$t^\ast = 2\ln 24 \approx 6{,}36 \text{ anos},$$

   e $90\%$ em $6{,}36 + 4{,}39 \approx 10{,}8$ anos.

   O padrão. Dobrar $p_0$ adiantou tudo em cerca de $1{,}4$ ano — que é $(\ln 2)/a = 0{,}693/0{,}5$. As duas respostas se moveram pelo mesmo tanto, porque $p_0$ só translada a curva. O intervalo entre os dois marcos não mudou nada.

2. intermediárioestimativa de parâmetro a partir de dadosno espírito de Braun §1.6

   Registros de vendas mostram que a adoção de um equipamento agrícola passou de $10\%$ para $90\%$ dos produtores em $6$ anos.

   (a) Estime $a$.

   (b) Com esse $a$, quanto tempo a adoção levou para ir de $1\%$ a $10\%$?

   (c) Compare com a resposta de (b) para o intervalo de $90\%$ a $99\%$, e explique o resultado.

   Dica

   Em (b) e (c), a forma canônica torna as contas quase idênticas — repare em como $p$ e $1-p$ se trocam.

   Resolução

   (a) Pela proposição do tempo de decolagem, $\Delta t = \ln 81/a$, logo

   $$a = \frac{\ln 81}{6} = \frac{4{,}394}{6} \approx 0{,}732 \text{ ao ano}.$$

   (b) Na forma canônica, $p = 0{,}01$ corresponde a $\exp(-a(t - t^\ast)) = 99$ e $p = 0{,}10$ a $\exp(-a(t-t^\ast)) = 9$. A diferença de tempos é

   $$\frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{99}{9}\right) = \frac{\ln 11}{0{,}732} \approx \frac{2{,}398}{0{,}732} \approx 3{,}3 \text{ anos}.$$

   (c) Para $p = 0{,}90$ e $p = 0{,}99$, os valores de $\exp(-a(t-t^\ast))$ são $1/9$ e $1/99$, e a diferença de tempos é de novo $\ln(11)/a \approx 3{,}3$ anos.

   Por que são iguais. A logística é simétrica: a substituição $p \mapsto 1 - p$ junto com $t \mapsto 2t^\ast - t$ deixa a curva invariante. Os $9\%$ finais custam exatamente o mesmo que os $9$ pontos iniciais.

   E aqui está a previsão que se pode confrontar com a realidade: os últimos retardatários costumam demorar mais do que a simetria prevê. Isso é evidência contra a hipótese de população homogênea — na prática há produtores sistematicamente menos alcançáveis, e o modelo de um só $a$ não os representa.

3. avançadomodelo de Bassno espírito de Braun §1.6

   Resolva o modelo com influência externa

   $$\frac{dp}{dt} = (\alpha + \beta p)(1 - p), \qquad p(0) = 0,$$

   com $\alpha, \beta > 0$.

   Em seguida, verifique que $p(0) = 0$ e $p'(0) = \alpha$, e explique por que essa segunda igualdade é o ponto do modelo.

   Dica

   Frações parciais em $\dfrac{1}{(\alpha + \beta p)(1-p)}$. Os dois denominadores somam de forma conveniente: $\beta(1-p) + (\alpha + \beta p) = \alpha + \beta$.

   Resolução

   Frações parciais. Procuramos $A$ e $B$ com

   $$\frac{1}{(\alpha + \beta p)(1 - p)} = \frac{A}{\alpha + \beta p} + \frac{B}{1 - p}.$$

   Multiplicando pelos denominadores, $A(1-p) + B(\alpha + \beta p) = 1$. Igualando coeficientes: em $p$, $-A + B\beta = 0$; constante, $A + B\alpha = 1$. Logo $A = B\beta$ e $B(\alpha + \beta) = 1$:

   $$A = \frac{\beta}{\alpha + \beta}, \qquad B = \frac{1}{\alpha + \beta}.$$

   Integrando. Note que $\int \frac{A\,dp}{\alpha + \beta p} = \frac{A}{\beta}\ln(\alpha + \beta p)$, e $A/\beta = B$. Assim os dois termos saem com o mesmo fator:

   $$\frac{1}{\alpha + \beta}\Bigl[\ln(\alpha + \beta p) - \ln(1 - p)\Bigr] = t + C.$$

   Constante. Em $t = 0$ com $p = 0$: o colchete vale $\ln \alpha$, logo $C = \ln\alpha/(\alpha+\beta)$. Escrevendo $s = \alpha + \beta$ e exponenciando:

   $$\frac{\alpha + \beta p}{1 - p} = \alpha\exp(s t).$$

   Isolando $p$. Com $E = \exp(st)$:

   $$\alpha + \beta p = \alpha E - \alpha E p \quad\Longrightarrow\quad p\,(\beta + \alpha E) = \alpha(E - 1),$$$$\boxed{\;p(t) = \frac{1 - \exp(-s t)}{1 + \dfrac{\beta}{\alpha}\exp(-s t)}, \qquad s = \alpha + \beta.\;}$$

   (A última forma vem de dividir numerador e denominador por $\alpha E$.)

   Verificações. Em $t = 0$ o numerador se anula, logo $p(0) = 0$. ✓

   Para $p'(0)$, é mais rápido usar a equação original do que derivar a solução:

   $$p'(0) = (\alpha + \beta \cdot 0)(1 - 0) = \alpha.$$

   Por que isso importa. Na logística pura, $p_0 = 0$ dá $p'(0) = 0$ e a solução fica presa no zero. Aqui a adoção parte com velocidade $\alpha$, que é exatamente a taxa da influência externa.

   O modelo, portanto, contém a explicação do próprio começo: os primeiros adotantes são os alcançados pela propaganda, e só depois o contágio assume. Em dados de vendas, $\alpha$ e $\beta$ são estimados separadamente, e a razão $\beta/\alpha$ diz se o produto se espalha por boca a boca ou por publicidade — que é uma informação de negócio extraída de uma equação de primeira ordem.